On closed weakly m-convexsets

Анотація

В роботі розглядаються властивості узагальнено опуклих множин n-вимірного дійсного евклідового простору Rⁿ, n>1, які називаються слабко m-опуклими, m=1,...,n-1. Відкрита множина простору Rⁿ називається слабко m-опуклою, якщо через кожну точку межі множини проходить m-вимірна площина, яка дану множину не перетинає. Замкнена множина простору Rⁿ називається слабко m-опуклою, якщо вона апроксимується ззовні сім’єю відкритих, слабко m-опуклих множин. Точка доповнення множини до всього простору Rⁿ називається точкою m-неопуклості множини, якщо довільна m-вимірна площина, яка містить цю точку, перетинає задану множину. Доведено, що довільна замкнена, слабко (n-1)-опукла множина з непорожньою множиною точок (n-1)-неопуклості складається не менше ніж із трьох компонент зв’язності. Також доведено, що внутрішність замкненої, слабко 1-опуклої множини зі скінченним числом компонент зв’язності на площині є слабко 1-опуклою. Побудовано приклади слабко m-опуклих областей та зв’язних замкнених множин n-вимірного простору, з непорожньою множиною точок m-неопуклості, для довільних n≥2 й m=1,...,n-2.