##plugins.themes.bootstrap3.article.sidebar##
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Abstract
The construction of a continuum family of positive series whose sets of incomplete sums are Cantorvals is given in this article.
Each series of this family has a property $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=1,~~~\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\frac{a_n}{\sum_{k=1}^{\infty}a_{n+k}}=+\infty.$$
For any $ \varepsilon> 0 $ there exists series in this family with Lebesgue measure of its set of incomplete sums greater than $ 1- \varepsilon $.
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution (CC-BY) 4.0 License that allows others to share the work with an acknowledgment of the work’s authorship and initial publication in this journal.
Provided they are the owners of the copyright to their work, authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal’s published version of the work (e.g., post it to an institutional repository, in a journal or publish it in a book), with an acknowledgment of its initial publication in this journal.
Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories, disciplinary repositories, or on their website) prior to and during the submission process.
References
2. Wojciech Bielas, Szymon Plewik, Marta Walczynska. On the center of distances. Eur. J. Math., 4(2):687-698, 2018.
3. C. Ferens. On the range of purely atomic probability measures. Studia Math., 77(3):261-263, 1984.
4. J. Guthrie, J. Nymann. The topological structure of the set of subsums of an infinite series. Colloq. Math., 55(2):323-327, 1988.
5. H. Hornich. Uber beliebige Teilsummen absolut konvergenter Reihen. Monatsh. Math. Phys., 49:316-320, 1941.
6. Rafe Jones. Achievement sets of sequences. Amer. Math. Monthly, 118(6):508-521, 2011.
7. S. Kakeya. On the set of partial sums of an infinite series. Tohoku Sci Rep., (4):159-163, 1914.
8. P. Mendes, F. Oliveira. On the topological structure of the arithmetic sum of two Cantor sets. Nonlinearity, 7(2):329-343, 1994.
9. P. Menon. On a class of perfect sets. Bull. Amer. Math. Soc., 54:706-711, 1948.
10. J. Nymann, R. Saenz On a paper of Guthrie and Nymann on subsums of infinite series. Colloq. Math., 83(1):1-4, 2000.
11. F. Prus-Wi\sniowski. Beyond the sets of subsums.
12. B. Solomyak. On the random series ∑▒〖±λ^n 〗 (an {E}rdos problem). Ann. of Math. (2), 42(3):611-625, 1995
13. P. Varju. Recent progress on Bernoulli convolutions. European Congress of Mathematics, pages 847-867. Eur. Math. Soc., Zurich, 2018.
14. T. Salat. Hausdorff measure of linear sets. Czechoslovak Math. J., 11 (86):24-56, 1961.
15. T. Salat. Absolut konvergente Reihen und das Hausdorffsche Mass. Czechoslovak Math. J., 9(84):372-389, 1959.
16. А. Д. Вайнштейн, Б. З. Шапиро. О строении множества α-представимых чисел. Изв. вузов. Матем., (5):8-11, 1980.
17. Я. В. Гончаренко. Згортки розподілів сум випадкових рядів спеціального виду. Наукові записки НПУ імені М.П. Драгоманова. Фізико-математичні науки, (4):216-232, 2003.
18. Я. В. Гончаренко, М. В. Працьовитий, Г. М. Торбін. Тополого-метричні і фрактальні властивості множини неповних сум знакододатного ряду та розподілів на ній. Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Фізико-математичні науки, (6):210-224, 2005.
19. Я. В. Гончаренко, М. В. Працьовитий, Г. М. Торбін. Фрактальні властивості деяких згорток Бернуллі. Теор. ймовірност. матем. статист., 79:34-49, 2008.
20. Н. О. Корсунь, М. В. Працьовитий. Про множину неповних сум знакододатних рядів з однією умовою однорідності та узагальнення двійкового зображення чисел. Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Фізико-математичні науки, (10):28-39, 2009.
21. М. В. Працьовитий. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. Київ: Вид-во НПУ імені М. П. Драгоманова, 1998.